Корректно написание строчными: край наш северный.
Все верно, только вместо дефиса необходимо тире (иначе получается сложное слово Рейн-Вестфалия): в земле Северный Рейн – Вестфалия.
Вы написали правильно.
Следует склонять все слова, входящие в состав этого топонима: житель Северного Рейна – Вестфалии. Однако при наличии родового слова склонение не требуется: житель земли Северный Рейн – Вестфалия.
Допустимо, но главное, чтобы читатели поняли, что речь в тексте идет именно о полюсе, а не о самой высокой горе, например.
Название этого проекта железнодорожной магистрали заключается в кавычки.
Правильно: Восточный Берлин, Северный Афганистан.
Правильно дефисное написание: Баден-Вюртемберг. Разница в том, что в этом названии каждый из компонентов представляет собой одно слово, а в названии Северный Рейн – Вестфалия один из компонентов (а именно Северный Рейн) представляет собой сочетание слов.